考研数学二历年真题

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）

试题解析

一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1) 下列反常积分收敛的是  (   )

(A)   (B)      (C)     (D)

【答案】(D)

【解析】，则.

(2)  函数 在内(   )

(A) 连续          

(B) 有可去间断点

(C) 有跳跃间断点

(D) 有无穷间断点

【答案】(B)

【解析】，，故有可去间断点.

(3)  设函数,若在处连续则:(  )

(A)           (B)          

(C)           (D)

【答案】(A)

【解析】时，

时，

在处连续则：得

得：，答案选择A

(4)设函数在内连续，其中二阶导数的图形如图所示，则曲线的拐点的个数为(   )

(A)   (B)       (C)     (D)  

【答案】(C)

【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个.

(5) 设函数满足 ，则与 依次是  (   )

(A)    (B)      (C)    (D)

【答案】(D)

【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解.

令，则，从而变为

.故，

因而.故选（D）.

(6)设是第一象限由曲线，与直线，围成的平面区域，函数在上连续，则 (   )

(A)            

(B)      

(C)

(D)

【答案】(B)

【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为

所以

故选B.

(7) 设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为 (   )

(A)          (B)          

(C)          (D)

【答案】(D)

【解析】，

由，故或，同时或.故选（D）

(8) 设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若则在正交变换下的标准形为(   )

(A)             (B)          

(C)            (D)

【答案】(A)

【解析】由，故.

且.

由已知可得

故

所以.选（A）

二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

(9) 则            

【答案】48

【解析】

.

(10)函数在处的阶导数_________

【答案】

【解析】根据莱布尼茨公式得：

(11) 设连续，，若，则          

【答案】

【解析】 已知，求导得，故有

则.

(12)设函数是微分方程的解，且在处取得极值3，则=        .

【答案】

【解析】由题意知：，，由特征方程：解得

所以微分方程的通解为：代入，解得：

解得：

(13)若函数由方程确定，则=           .

【答案】

【解析】当时，则对该式两边求偏导可得

.将（0,0,0）点值代入即有

则可得

(14) 若阶矩阵的特征值为，，其中为阶单位阵，则行列式    .

【答案】21

【解析】的所有特征值为的所有特征值为

所以.

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) (本题满分10分）

设函数，.若与在时是等价无穷小，求的值.

【答案】

【解析】

方法一：

因为，，

那么，

，

可得：，所以，．

方法二：

由题意得

由分母，得分子，求得c；

于是

由分母，得分子

，

求得；

进一步，b值代入原式

，求得

(16) (本题满分10分)

设A>0，D是由曲线段及直线，所围成的平面区域，，分别表示D绕轴与绕轴旋转成旋转体的体积，若，求A的值.

【答案】

【解析】由旋转体的体积公式，得

      由题求得

(17) (本题满分11分)

已知函数满足，，，求 的极值.

【答案】极小值

【解析】两边对y积分，得

     ，

故，

求得，

故，两边关于x积分，得

由，求得

所以.

令，求得.

又，

 ，，

当时，，

为极小值.

(18) (本题满分10分)

计算二重积分，其中

【答案】

【解析】

(19)(本题满分 11 分)

已知函数，求零点的个数？

【答案】个

【解析】

令,得驻点为,

在,单调递减,在,单调递增

故为唯一的极小值,也是最小值.

而

在,,故

从而有

考虑，所以.

所以函数在及上各有一个零点，所以零点个数为2.

(20) (本题满分10分)

  已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为的物体在的恒温介质中冷却，30min后该物体降至，若要将该物体的温度继续降至，还需冷却多长时间？

【答案】

【解析】设时刻物体温度为，比例常数为，介质温度为,则

，从而，

，所以，即

又所以，所以

当时，１，所以还需要冷却３０min.

(21) (本题满分10分)

   已知函数在区间上具有2阶导数，，，，设，曲线在点处的切线与轴的交点是，证明.

【证明】根据题意得点处的切线方程为

令，得

因为所以单调递增，又因为

所以，又因为

所以

又因为，而在区间（a,b）上应用拉格朗日中值定理有

所以

因为所以单调递增

所以

所以，即，所以，结论得证.

(22) (本题满分 11 分)

设矩阵且.

1. 求的值；

2. 若矩阵满足，为3阶单位阵，求.

【答案】

【解析】

(I)

(II)由题意知

，

(23) (本题满分11  分)

设矩阵相似于矩阵.

（1）求的值；

（2）求可逆矩阵，使为对角阵.

【答案】

（1）；

（2）

【解析】(I)

(II)

的特征值

时的基础解系为

时的基础解系为

A的特征值

令，

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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析

一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1)设函数在内连续，其中二阶导数的图形如图所示，则曲线的拐点的个数为 (   )

(A)          (B)          (C)           (D)  

【答案】（C）

【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由的图形可得，曲线存在两个拐点.故选（C）.

(2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则(   )

(A)            

(B)          

(C)

(D)

【答案】（A）

【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.

【解析】由题意可知，、为二阶常系数齐次微分方程的解，所以2,1为特征方程的根，从而，，从而原方程变为，再将特解代入得.故选（A）

(3) 若级数条件收敛，则 与依次为幂级数的 (   )

(A) 收敛点，收敛点            

(B) 收敛点，发散点          

(C) 发散点，收敛点

(D) 发散点，发散点

【答案】（B）

【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.

【解析】因为条件收敛，即为幂级数的条件收敛点，所以的收敛半径为1，收敛区间为.而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故的收敛区间还是.因而与依次为幂级数的收敛点，发散点.故选（B）.

(4)  设是第一象限由曲线，与直线，围成的平面区域，函数在上连续，则 (   )

(A)            

(B)      

(C)

(D)

【答案】（B）

【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分

【解析】先画出D的图形，

所以，

故选（B）

(5) 设矩阵，，若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为                                  (   )

(A)      

(B)    

(C)

(D)

【答案】(D)

【解析】，

由，故或，同时或.故选（D）

(6)设二次型 在正交变换为 下的标准形为 ，其中 ，若 ，则在正交变换下的标准形为(   )

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】(A)

【解析】由，故.

且.

由已知可得:

故有

所以.选（A）

(7) 若A,B为任意两个随机事件，则                                   (   )

(A)              (B)

(C)              (D)

【答案】(C)

【解析】由于，按概率的基本性质，我们有且，从而，选(C) .

(8)设随机变量不相关，且，则 (   )

(A)        (B)          (C)         (D)

【答案】(D)

【解析】

         ，选(D) .

二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

(9)

【答案】

【分析】此题考查型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.

【解析】方法一：

方法二：

(10)

【答案】

【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.

【解析】

(11)若函数由方程确定，则

【答案】

【分析】此题考查隐函数求导.

【解析】令，则

又当时，即.

所以，因而

(12)设是由平面与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则

【答案】

【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算.

【解析】由轮换对称性，得

，

其中为平面截空间区域所得的截面，其面积为.所以

(13) 阶行列式

【答案】

【解析】按第一行展开得

(14)设二维随机变量服从正态分布，则

【答案】

【解析】由题设知，，而且相互独立，从而

     .

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分) 设函数，，若与在是等价无穷小，求的值.

【答案】

【解析】法一：原式

即

法二：

因为分子的极限为0，则

，分子的极限为0，

，

(16)(本题满分10分) 设函数在定义域I上的导数大于零，若对任意的，由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式.

【答案】.

【解析】设在点处的切线方程为：

令，得到，

故由题意，，即，可以转化为一阶微分方程，

即，可分离变量得到通解为：，

已知，得到，因此；

即.

(17)(本题满分10分)

已知函数，曲线C：，求在曲线C上的最大方向导数.

【答案】3

【解析】因为沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.

，

故，模为，

此题目转化为对函数在约束条件下的最大值.即为条件极值问题.

为了计算简单，可以转化为对在约束条件下的最大值.

构造函数：

，得到.

所以最大值为.

(18)(本题满分 10 分)

（I）设函数可导，利用导数定义证明

（II）设函数可导，，写出的求导公式.

【解析】（I）

（II）由题意得

(19)(本题满分 10 分)

已知曲线L的方程为起点为，终点为，计算曲线积分.

【答案】

【解析】由题意假设参数方程，

(20) (本题满11分)
    设向量组内的一个基，，，.

（I）证明向量组为的一个基;

（II）当k为何值时，存在非0向量在基与基下的坐标相同，并求所有的.

【答案】

【解析】(I)证明：

故为的一个基.

（II）由题意知，

即

即

即，得k=0

(21) (本题满分11 分)

设矩阵相似于矩阵.

1. 求的值；

（II）求可逆矩阵，使为对角矩阵..

【解析】(I)

(II)

的特征值

时的基础解系为

时的基础解系为

A的特征值

令，

(22) (本题满分11 分) 设随机变量的概率密度为

对 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记为观测次数.

(I)求的概率分布;

(II)求          

【解析】(I) 记为观测值大于3的概率，则，

从而，

为的概率分布；

(II) 法一:分解法:

将随机变量分解成两个过程,其中表示从到次试验观测值大于首次发生，表示从次到第试验观测值大于首次发生.

则，(注：Ge表示几何分布)

所以.

法二:直接计算

记，则，

，

，

所以，

从而.

(23) (本题满分 11 分)设总体X的概率密度为：

其中为未知参数，为来自该总体的简单随机样本.

(I)求的矩估计量.

(II)求的最大似然估计量.

【解析】(I) ，

令，即，解得为的矩估计量；

(II) 似然函数，

当时，，则.

从而，关于单调增加，

所以为的最大似然估计量.

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2014年考研数学二真题与解析

一、选择题  1—8小题．每小题4分，共32分．

１．当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是（  ）

（A）      （B）    （C）     （D）

【详解】，是阶无穷小，是阶无穷小，由题意可知

所以的可能取值范围是，应该选（B）．

2．下列曲线有渐近线的是

（A）    （B）（C）   （D）

【详解】对于，可知且，所以有斜渐近线

应该选（C）

3．设函数具有二阶导数，，则在上（  ）

（A）当时，  （B）当时，

（C）当时，  （D）当时，

【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．

【详解1】如果对曲线在区间上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然就是联接两点的直线方程．故当时，曲线是凹的，也就是，应该选（D）

【详解2】如果对曲线在区间上凹凸的定义不熟悉的话，可令，则，且，故当时，曲线是凹的，从而，即，也就是，应该选（D）

4．曲线 上对应于的点处的曲率半径是（    ）

（Ａ）（Ｂ）　　(Ｃ）　（Ｄ）

【详解】 曲线在点处的曲率公式，曲率半径．

本题中，所以，，

对应于的点处，所以，曲率半径．

应该选（C）

5．设函数，若，则（    ）

（Ａ）　　　（Ｂ）　　　　（Ｃ）　　　　（Ｄ）　

【详解】注意（1），（2）．

由于．所以可知，，

．

6．设在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足及，则（      ）．

             （A）的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；

             （B）的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；

             （C）的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；

             （D）的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．

【详解】 在平面有界闭区域D上连续，所以在D内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点，也就是，在这个点处，由条件，显然，显然不是极值点，当然也不是最值点，所以的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上．

所以应该选（A）．

7．行列式等于

（A）      （B）　　（C）  （D）

【详解】

应该选（B）．

8．设 是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的

（A）必要而非充分条件             （B）充分而非必要条件

（C）充分必要条件                 （D） 非充分非必要条件

【详解】若向量线性无关，则

（，），对任意的常数，矩阵的秩都等于2，所以向量，一定线性无关．

而当时，对任意的常数，向量，线性无关，但线性相关；故选择（A）．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9．        ．

【详解】．

10．设为周期为4的可导奇函数，且，则                ．

【详解】当时，，由可知，即；为周期为4奇函数，故．

11．设是由方程确定的函数，则             ．

【详解】设，，当时，，，，所以．

12．曲线的极坐标方程为，则在点处的切线方程为              ．

【详解】先把曲线方程化为参数方程，于是在处，，，则在点处的切线方程为，即

13．一根长为1的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标      ．

【详解】质心坐标．

14．设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围是              ．

【详解】由配方法可知

由于负惯性指数为1，故必须要求，所以的取值范围是．

三、解答题

15．（本题满分10分）

求极限．

【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．

【详解】

16．（本题满分10分）

已知函数满足微分方程，且，求的极大值和极小值．

【详解】

解：把方程化为标准形式得到，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：，由得，

即．

令，得，且可知；

当时，可解得，，函数取得极大值；

当时，可解得，，函数取得极小值．

17．（本题满分10分）

设平面区域．计算

【详解】由对称性可得

18．（本题满分10分）

设函数具有二阶连续导数，满足．若，求的表达式．

【详解】

设，则，

;

；

由条件，

可知

这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．

对应齐次方程的通解为：

其中为任意常数．

对应非齐次方程特解可求得为．

故非齐次方程通解为．

将初始条件代入，可得．

所以的表达式为．

19．（本题满分10分）

设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：

1. ；

2. ．

【详解】

（1）证明：因为，所以．

即．

（2）令，

则可知，且，

因为且单调增加，

所以．从而

，  

也是在单调增加，则，即得到

．

20．（本题满分11分）

设函数，定义函数列

，，

设是曲线，直线所围图形的面积．求极限．

【详解】

，，

利用数学归纳法可得

，

．

21．（本题满分11分）

已知函数满足，且，求曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积．

【详解】

由于函数满足，所以，其中为待定的连续函数．

又因为，从而可知，

得到．

令，可得．且当时，．

曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积为

22．（本题满分11分）

设，E为三阶单位矩阵．

1. 求方程组的一个基础解系；

2. 求满足的所有矩阵．

【详解】（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下：

，

得到方程组同解方程组

得到的一个基础解系．

（2）显然B矩阵是一个矩阵，设

对矩阵进行进行初等行变换如下：

由方程组可得矩阵B对应的三列分别为

，，，

即满足的所有矩阵为

其中为任意常数．

23．（本题满分11分）

证明阶矩阵与相似．

【详解】证明：设 ，．

分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：

，

所以A的个特征值为；

而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且；

所以B的个特征值也为；

对于重特征值，由于矩阵的秩显然为1，所以矩阵B对应重特征值的特征向量应该有个线性无关，进一步矩阵B存在个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对角化，且

从而可知阶矩阵与相似．

2013年考研数学二真题及答案

　　数学二答案：

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1)曲线的渐近线条数                                                  (   )

(A) 0               (B) 1             (C) 2            (D) 3

(2) 设函数，其中为正整数,则              (   )

(A)       (B)       (C)    (D)

(3) 设，则数列有界是数列收敛的                                                                        

   (   )

(A) 充分必要条件                      (B) 充分非必要条件  

   (C) 必要非充分条件                     (D) 非充分也非必要

(4) 设则有                                                                        

(   )

(A)   (B)    (C)      (D)

(5) 设函数为可微函数，且对任意的都有则使不等式成立的一个充分条件是                                                                        

(   )

(A)  (B)  (C)     (D)

(6) 设区域由曲线围成，则                                                                      

(   )

(A)             (B)  2           (C)  -2             (D) -

(7) 设, , , ,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为                                                               (   )

(A)          (B)          (C)         (D)

(8) 设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且.若，则                                                (   )

(A)       (B)       (C)       (D)

二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

(9) 设是由方程所确定的隐函数，则          .

(10)                    .

(11) 设其中函数可微，则            .

(12) 微分方程满足条件的解为            .

(13) 曲线上曲率为的点的坐标是            .

(14) 设为3阶矩阵，，为伴随矩阵，若交换的第1行与第2行得矩阵，则        .

三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分 10 分)

已知函数，记，

(I)求的值;

(II)若时，与是同阶无穷小，求常数的值.

(16)(本题满分 10 分)

求函数的极值.

(17)(本题满分12分)

过点作曲线的切线,切点为,又与轴交于点,区域由与直线围成,求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积.

(18)(本题满分 10 分)

计算二重积分，其中区域为曲线与极轴围成.

(19)(本题满分10分)

已知函数满足方程及,

(I) 求的表达式;

(II) 求曲线的拐点.

(20)(本题满分10分)

   证明,.

(21)(本题满分10 分)

(I)证明方程，在区间内有且仅有一个实根；

(II)记(I)中的实根为，证明存在，并求此极限.

(22)(本题满分11 分)

设，

(I) 计算行列式；

(II) 当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解.

(23)(本题满分11 分)

已知，二次型的秩为2，

(I) 求实数的值；

(II) 求正交变换将化为标准形.

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

2010年考研数学二真题

一 填空题(8×4=32分)

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）函数的可去间断点的个数，则（   ）

1.                                          2.                  3.                                          无穷多个.

（2）当时，与是等价无穷小，则（   ）

.              .  .              .

（3）设函数的全微分为，则点（   ）

不是的连续点.              不是的极值点.  

是的极大值点.   是的极小值点.

（4）设函数连续，则（   ）

.                .                  

.                            .

（5）若不变号，且曲线在点上的曲率圆为，则在区间内（   ）

有极值点，无零点.              无极值点，有零点.                  

有极值点，有零点.              无极值点，无零点.

（6）设函数在区间上的图形为：

1

-2

0

2

3

-1

O

则函数的图形为（   ）

.              

0

2

3

1

-2

-1

1

0

2

3

1

-2

-1

1

.

0

2

3

1

-1

1

0

2

3

1

-2

-1

1

（7）设、均为2阶矩阵，分别为、的伴随矩阵。若，则分块矩阵的伴随矩阵为（   ）

.                                          .                  

.                                          .

（8）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若

，则为（   ）

.                                          .                  

.                                          .

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）曲线在处的切线方程为              

（10）已知,则              

（11）              

（12）设是由方程确定的隐函数，则              

（13）函数在区间上的最小值为      

(14)设为3维列向量，为的转置，若矩阵相似于，则    

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分9分）求极限

（16）（本题满分10 分）计算不定积分

（17）（本题满分10分）设，其中具有2阶连续偏导数，求与

（18）（本题满分10分）

设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线及围成平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积。

（19）（本题满分10分）求二重积分，

其中

（20）（本题满分12分）

设是区间内过的光滑曲线，当时，曲线上任一点处的法线都过原点，当时，函数满足。求的表达式

（21）（本题满分11分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且。

（22）（本题满分11分）设，

（Ⅰ）求满足的所有向量

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量，证明：线性无关。

（23）（本题满分11分）设二次型

（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值；

（Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值。

2008年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）设，则的零点个数为（  ）

0                 1.       2                3

（2）曲线方程为函数在区间上有连续导数，则定积分（   ）

曲边梯形ABOD面积.              

梯形ABOD面积.

曲边三角形面积.              

三角形面积.

（3）在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解的是（  ）

（5）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（   ）

若收敛，则收敛.                      若单调，则收敛.

若收敛，则收敛.                                          若单调，则收敛.

（6）设函数连续，若，其中区域为图中阴影部分，则

（7）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（   ）

不可逆，不可逆.                 不可逆，可逆.

可逆，可逆.                               可逆，不可逆.

（8）设，则在实数域上与合同的矩阵为（   ）

.                                          .

.                                           .  

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9） 已知函数连续，且，则.

（10）微分方程的通解是.

（11）曲线在点处的切线方程为.

（12）曲线的拐点坐标为______.

（13）设，则.

（14）设3阶矩阵的特征值为.若行列式，则.

三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)（本题满分9分）求极限.

(16)（本题满分10分）

设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解.求.

(17)（本题满分9分）求积分 .

(18)（本题满分11分）

求二重积分其中

(19)（本题满分11分）

设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且.对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式.

(20)（本题满分11分）

(1) 证明积分中值定理：若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得 (2)若函数具有二阶导数，且满足，证明至少存在一点

（21）（本题满分11分）

求函数在约束条件和下的最大值与最小值.

（22）（本题满分12分）

设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，

（1）求证；

（2）为何值，方程组有唯一解，并求；

（3）为何值，方程组有无穷多解，并求通解.

（23）（本题满分10分）

设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，

（1）证明线性无关；

（2）令，求.

2007年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）当时，与等价的无穷小量是

  （A）  （B）   （C）  （D）     [     ]

（2）函数在上的第一类间断点是             [     ]

（A）0              （B）1          （C）       （D）

（3）如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设，则下列结论正确的是：

  （A）              (B)            

（C）                （D）              [     ]

（4）设函数在处连续，下列命题错误的是：

  （A）若存在，则  （B）若存在，则  .

  （C）若存在，则 （D）若存在，则.

                                                                        [     ]

（5）曲线的渐近线的条数为

（A）0.              （B）1.      （C）2.           （D）3.            [     ]

（6）设函数在上具有二阶导数，且，令，则下列结论正确的是：    

(A)  若 ，则必收敛.   (B)  若 ，则必发散  

(C) 若 ，则必收敛.   (D)   若 ，则必发散.      [     ]

（7）二元函数在点处可微的一个充要条件是[     ]

（A）.

（B）.

（C）.

（D）.

（8）设函数连续，则二次积分等于

（A）             （B）

（C）             （D）

（9）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是

线性相关，则

             (A)                            (B)

             (C) .              (D) .        [    ]

（10）设矩阵，则与

(A) 合同且相似                  （B）合同，但不相似.

  (C) 不合同，但相似.              (D) 既不合同也不相似                 [     ]

二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.

（11） __________.

（12）曲线上对应于的点处的法线斜率为_________.

（13）设函数，则________.

（14） 二阶常系数非齐次微分方程的通解为________.

（15） 设是二元可微函数，，则 __________.

（16）设矩阵，则的秩为         .

三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（17） (本题满分10分)设是区间上单调、可导的函数，且满足，其中是的反函数，求.

（18）（本题满分11分）

    设是位于曲线下方、轴上方的无界区域.  （Ⅰ）求区域绕轴旋转一周所成旋转体的体积；（Ⅱ）当为何值时，最小？并求此最小值.

（19）（本题满分10分）求微分方程满足初始条件的特解.

（20）（本题满分11分）已知函数具有二阶导数，且，函数由方程所确定，设，求.

（21） (本题满分11分)设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，，证明：存在，使得.

（22） (本题满分11分) 设二元函数，计算二重积分，其中.

（23） (本题满分11分)                              

设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解.

（24） (本题满分11分)

设三阶对称矩阵的特征向量值，是的属于的一个特征向量，记，其中为3阶单位矩阵.

（I）验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量；

（II）求矩阵.  

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

1. 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.

（1）曲线 的水平渐近线方程为          

（2）设函数在处连续，则       .

（3）广义积分      .

（4）微分方程的通解是          

（5）设函数由方程确定，则      

（6）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则

           .

二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则[   ]

(A)  .                (B)  .

(C)  .       　　　　 (D) .         　　

（8）设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是

（A）连续的奇函数.                                                                      （B）连续的偶函数

（C）在间断的奇函数                                          （D）在间断的偶函数.                   [   ]

（9）设函数可微，，则等于

             （A）.                                                                                    （B）

             （C）                                                                      （D）                                         [    ]

（10）函数满足的一个微分方程是

             （A）                                          （B）

             （C）                                          （D）         [    ]

（11）设为连续函数，则等于

（Ａ）.    （B）.

(C)　.　　(D) .          [     ]                                                      

（12）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是   [  ]

(A)  若，则.    

(B)  若，则.  

(C) 　若，则.  

(D) 　若，则.         　　　　　　　　　

（13）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是   [  ]

1. 若线性相关，则线性相关.    

2. 若线性相关，则线性无关.

(C)  若线性无关，则线性相关.  

(D)  若线性无关，则线性无关.              

（14）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则

（Ａ）.　　　　　　　　　　　（Ｂ）.

（Ｃ）.　　　　　　　　　　　（Ｄ）.　　　［　　］

三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

  试确定的值，使得，其中是当时比高阶的无穷小.

（16）（本题满分10分）求 .

（17）（本题满分10分）设区域， 计算二重积分

（18）（本题满分12分）设数列满足

（Ⅰ）证明存在，并求该极限；（Ⅱ）计算.

（19）（本题满分10分）

    证明：当时，

.

（20）（本题满分12分）

设函数在内具有二阶导数，且满足等式.

（I）验证；

（II）若，求函数的表达式.

（21）（本题满分12分）

已知曲线L的方程（I）讨论L的凹凸性；（II）过点引L的切线，求切点，并写出切线的方程；（III）求此切线与L（对应于的部分）及x轴所围成的平面图形的面积.

（22）（本题满分9分）

已知非齐次线性方程组

有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵的秩；（Ⅱ）求的值及方程组的通解.

（23）（本题满分9分）

设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.

(Ⅰ)　求的特征值与特征向量；

(Ⅱ)　求正交矩阵和对角矩阵,使得.

2005年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

2. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）设，则  =           .

（2）曲线的斜渐近线方程为         .

（3）         .

（4）微分方程满足的解为              .

（5）当时，与是等价无穷小，则k=           .

（6）设均为3维列向量，记矩阵

   ，，

    如果，那么      .

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）设函数，则f(x)在内

(A)  处处可导.                (B)  恰有一个不可导点.

(C)  恰有两个不可导点.        (D)  至少有三个不可导点.           [     ]

（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有

1. F(x)是偶函数f(x)是奇函数.    

   （B） F(x)是奇函数f(x)是偶函数.

(C)  F(x)是周期函数f(x)是周期函数.

(D)  F(x)是单调函数f(x)是单调函数.                              [    ]                                                      

（9）设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是    

(A)  .            (B)  .  

(C)  .          (D)  .                       [   ]

（10）设区域，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则

(A)  .   (B) .   (C)  .    (D) .          [   ]

（11）设函数, 其中函数具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有

(A)  .  （B） .

(C)  .     (D)  .                    [    ]

（12）设函数则

1. x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.

（B）  x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.

(C)   x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.

4. x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.      [   ]

（13）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是

(A)  .     (B)  .  (C) .   (D) .          [   ]

（14）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵，则   [      ]

3. 交换的第1列与第2列得.     (B) 交换的第1行与第2行得.

(C)  交换的第1列与第2列得.   (D) 交换的第1行与第2行得.          三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且，求极限

（16）（本题满分11分）

如图，和分别是和的图象，过点(0,1)的曲线是一单调增函数的图象. 过上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线和. 记与所围图形的面积为；与所围图形的面积为如果总有，求曲线的方程

（17）（本题满分11分）

如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分

（18）（本题满分12分）

   用变量代换化简微分方程，并求其满足的特解.

（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：

（I）存在 使得；（II）存在两个不同的点，使得

（20）（本题满分10分）

已知函数z=f(x,y) 的全微分，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值.

（21）（本题满分9分）

计算二重积分，其中.

（22）（本题满分9分）

确定常数a,使向量组可由向量组线性表示，但向量组不能由向量组线性表示.